Los puntos de Lagrange L4 y L5 …

Los puntos de Lagrange L4 y L5 ...

    Nota. Este cálculo está destinado a usuarios con dominio de álgebra y bastante familiarizados con la trigonometría. Es más largo, más tedioso y un poco más complicado que otros cálculos en Astrónomos. Si va a estudiarlo, una buena idea puede ser la de copiarlo y comprobar que funciona en el papel a medida que avanza.
    Una derivación diferente – más corto, más elegante, más general, pero utilizando vectores y trabajar en un marco de referencia en rotación – se pueden encontrar en sección (34c) .

Como se ha señalado, existen dos puntos de la línea Sol-Tierra, los puntos de Lagrange L1 y L2, donde (si sólo se considera la gravedad de estos dos cuerpos) de una nave espacial mantendrá su posición con respecto al Sol y la Tierra. Resulta que tres adicional También existen puntos de mantenimiento en posición de este tipo. Uno de ellos, L3, está en la línea Tierra-Sol pero la parte más alejada del Sol, aproximadamente a la misma distancia que la Tierra. No tiene ningún uso práctico, porque en esa posición, un cálculo que implica sólo la Tierra y el Sol es una aproximación muy pobre. La atracción de otros planetas puede ser superior a la de la Tierra y no puede ser ignorado.

Los otros dos puntos de Lagrange, L4 y L5, están en la órbita de la Tierra, con las líneas que les vinculen con el Sol haciendo ángulos de 60 con la línea Tierra-Sol. En aquellos lugares en el cálculo de dos cuerpos con base en la Tierra y el Sol también predice maniobras de mantenimiento (es decir, el equilibrio en un marco de referencia que gira con la Tierra). Una vez más, sin embargo, L4 y L5 están tan distantes que para un cálculo realista del movimiento de una nave espacial cerca de ellos, se debe incluir la atracción de otros planetas.

sin embargo, el Tierra-Luna sistema también tiene sus puntos L4 y L5, y éstos han recibido alguna atención como posibles sitios para la observatorios y para la auto contenida colonias espaciales.

Tienen una propiedad importante (que no se probó) que son estables. En contraste, el equilibrio en los puntos L1 y L2 es inestable, como el de una canica en lo alto de una bola de bolos.

Si se coloca exactamente en la parte superior, el mármol permanecerá en el lugar, pero el más leve empujón será hacer que se mueva más y todavía más lejos de equilibrio, hasta que se caiga. Por el contrario, el equilibrio en L4 y L5 son como el de una canica en el fondo de un recipiente esférico: dado un ligero empujón, retrotrae de nuevo. Así, la nave espacial en L4 y L5 no tienden a alejarse, a diferencia de los que están en L1 y L2 que requieren pequeños cohetes a bordo de empujar de nuevo en su sitio de vez en cuando.

Aquí vamos a demostrar que L4 y L5 del sistema Tierra-Luna son posiciones de equilibrio en un marco de referencia que gira con la Luna. asumiendo que la órbita de la Luna es circular. órbitas no circulares y la cuestión de la estabilidad están más allá del alcance de esta discusión.

Herramientas del cálculo

  1. Vamos a necesitar la ley de Newton de la gravitación y el hecho de que el centro de la órbita de la Luna es solamente aproximadamente el centro de la Tierra. El centro real de la órbita es la centro de masa (O centro de gravedad) del sistema Tierra-Luna (ver al final de la sección 11).

  • De la trigonometría necesitaremos la ley de los senos. Supongamos que se nos da un triángulo ABC de tamaño arbitrario y forma (dibujo). Los ángulos en las tres esquinas se denominan A, B y C, así, mientras que las longitudes de los lados que se enfrentan se denotan un. segundo y do. A continuación, la ley de los senos dice

    Sina = h/ b b = h Sina
    senB = h/ a a = h senB

    A partir de ese
    b = a senA senB

  • También necesitamos una identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos. Si estos ángulos se indican con las letras griegas y

    sin (+) = sen cos + cos sen

  • Por último, necesitaremos la resolución de vectores (ver Sec. 14). Supongamos que una fuerza F actúa sobre un objeto en algún punto C, que forma un ángulo con la dirección de una línea dada, marcado aquí con R (dibujo). Supongamos también que tenemos que resolver F en componentes paralelos y perpendiculares a R. En el triángulo CPQ, si CP representa la fuerza F. a continuación, CQ y QP representan sus componentes paralelos y perpendiculares. Entonces ya

    pecado = QC/ cos CP = QP/ CP obtenemos fuerza paralela = CQ = F perpen pecado. Fuerza = QP = F cos

    Condiciones de Equilibrio

    Para el diagrama dibujado anteriormente para ilustrar el centro de masa del sistema Tierra-Luna, añadimos una nave espacial en algún punto C, con distancias segundo desde la Tierra, un de la Luna y R desde el centro de la masa D. Al igual que en la derivación de la ley de los senos, nombramos (A, B, C) los ángulos en los puntos de las esquinas marcadas con las letras, y (a B C ) Será la longitud de los lados enfrentados de las esquinas (A, B, C).

    Por otra parte hemos denominado como (, ) Las dos partes en que se divide el ángulo R C. Compruebe todo esto antes de continuar.

    La pregunta a responder es: ¿En qué condiciones el satélite en C mantener una posición fija con respecto a la Tierra y la Luna?

    El cálculo se maneja mejor en el marco giratorio con la Luna. En ese marco, si un satélite en el punto C se encuentra en equilibrio. se mantendrá siempre la misma distancia de la Luna y de la Tierra. El centro de rotación es el punto D – incluso la Tierra gira alrededor de él – y si la nave espacial en C está en equilibrio, los tres cuerpos tienen la mismo período orbital T. Si C es inmóvil en el marco giratorio, no existe ninguna fuerza de Coriolis (que sólo actúa sobre los objetos que se mueven en ese marco), pero la nave espacial detectará una fuerza centrífuga. al igual que la Luna y la Tierra.

    Vamos a recoger las ecuaciones

    –los que las distancias y ángulos deben obedecer.

    (1) Nota que la primera radio de rotación R de la nave espacial
    por lo general difieren de la de la Luna, que es c / (1 + m / M)

    2 R = vT 2 c/ (1 + m/ M) = VT A partir de este

    Las dos expresiones iguales a 2/ T también debe ser igual el uno al otro, por lo tanto

    Esto expresa simplemente la observación bien conocido que si dos objetos comparten una rotación, el más distante desde el eje gira más rápido, y sus velocidades son proporcionales a sus distancias desde el eje.

    (2) La la fuerza centrífuga en la Luna es

    (3) Que metro’ ser la masa de la nave espacial. La fuerza centrífuga en él es

    (3) v 2 / R = (Gm/ 2) cos + (GM/ b 2) cos

    (4) (m/ 2) sen = (M/ b 2) sen

    La recogida de todas las ecuaciones, una vez más:

    Las cantidades que aparecen aquí son de 3 tipos.

    • —Algunos son conocidos constantesGRAMO. metro y METRO. Ellos han dado valores y no esperamos que cambien.
    • –Algunos son distanciasr. un. segundo y do –que tiene que ver con las posiciones de la Tierra, la Luna y las naves espaciales en el espacio. Los ángulos (, ) Dependemos de esas distancias también, pero no vamos a necesitar las relaciones exactas para esto.
    • –Y algunos son velocidades. a saber v y V .

    Eliminemos las velocidades. de manera que las condiciones que nos queda son puramente geométrica, que implica sólo las distancias y ángulos.

    El plan a continuación, es como sigue. Eliminaremos V entre (1) y (2), dejando una ecuación que implica solamente v. A continuación, vamos a eliminar v entre ella y (3), terminando con una ecuación que no impliquen velocidades – más (4), que también contiene ni v ni V.

    A partir de (1), elevar al cuadrado ambos lados

    v 2 / R = (Gm/ 2) cos + (GM/ b 2) cos

    Por lo tanto (en movimiento un factor de 1 / c a R )

    Sea R1 = BD sea la distancia de la Luna para el centro de gravedad (o centro de masa) el punto D, que se mantiene en reposo en el sistema Tierra-Luna (vea la sección # 25); es sólo un poco menos de la Tierra-Luna distancia AB = c. Como se ha indicado en el dibujo
    R1 = C [M / (M + m)] = c / [1 + (m / M)] (7)
    Así (6) se convierte
    (1 / c 2) (R / R1 ) = (1 / a 2) (m / m) cos + (1 / b 2) cos (8)
    Sustituyendo de (4)
    (M / M) = (a 2 sen / b 2 sen)
    y la cancelación de un factor de 2 a lo largo del camino

    (1 / c 2) (R / R1 ) = (1 / b 2) [(sen cos / sen) + cos]
    = (1 / b) 2 sen [pecado cos + cos pecado]
    = (1 / b 2 sen) sen (+) = (1 / b 2 sen) sen C (9)
    Por la ley de los senos en el triángulo BCD
    sen / R1 = Sen B / R sen (R / R1 ) = Sen B Por lo tanto
    sen B / c 2 = senC / b 2 sen B / sen C = c 2 / b 2
    Pero a partir de la ley de los senos en el triángulo ABC
    sen B / sen C = b / c Por lo tanto b = c 3 3 b = c
    Un hecho importante de este cálculo es que ni m M ni aparecen en el resultado final. Por lo tanto podemos revisar nuestra notación. haciendo M la masa de la Luna y m la masa de la Tierra. (El punto D en el diagrama se desplazaría, pero es inexacta de todos modos, en realidad situado debajo de la superficie de la Tierra). En el esquema revisado, b representa la distancia de la Luna a la nave espacial. designado originalmente "un".

    El cálculo muestra ahora que la nave espacial Luna-distancia además es igual a la distancia Tierra-Luna c. De ello se desprende que ABC es un triángulo equilátero.

      (Gracias a un mensaje francesa por Penn Gwenn con una versión más simple de las ecuaciones de (7) en adelante, y para el Dr. Guy Batteur para comunicar a mí – DPS)

    Como ya se ha señalado, debido a L4 y L5 son puntos estables de equilibrio, que se han propuesto para los sitios de grandes colonias espaciales independientes, una idea desarrollada y defendida por la tarde Gerald O’Neill. En 1978 Bill Higgins y Barry Gehm incluso escribió para los futuros colonos La canción de L5 por una suma de Zafarrancho en el rancho. Aquí es su principio:

    Inicio de Lagrange

      Oh, dame un locus
      Cuando los gravitones centran
      En caso de que se resuelva el problema de los tres cuerpos
      Cuando las microondas juegan
      Abajo a 3 grados K
      Y el virus frío nunca evolucionó

    CORO:
    Hogar, hogar en Lagrange
    Cuando la basura espacial siempre recolecta.

    Para su información, el problema de los tres cuerpos es la solución del movimiento de tres cuerpos bajo su atracción mutua. Es famoso por haber obstaculizado los astrónomos desde hace muchos años, y el rey de Suecia se ofreció un premio a quien lo resolvió: el premio fue reivindicado por el matemático francés Henri Poincaré, que demostró que, en general, era insoluble – que ninguna fórmula explícita existido predijo que el movimiento por un tiempo indefinido. En la terminología de hoy se diría que el movimiento general de tres cuerpo tiene propiedades caóticas. Incluso el general, restringido problema de los tres cuerpo donde uno de los cuerpos es muy pequeño – por ejemplo. Tierra, la Luna y la nave espacial – es insoluble, aunque existen soluciones específicas, como aquellas en las que la nave espacial se coloca en uno de los puntos de Lagrange.

    Exploración Adicional:

    Acerca de colonias espaciales en los puntos de Lagrange:

    • Gerald K. O’Neill, La colonización del espacio , Physics Today septiembre de 1974, p. 32.
  • Gerard K. O’Neill, La alta frontera. William Morrow y Co. Nueva York, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.
  • Próxima Etapa: # 35 Para los planetas, a las estrellas

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